LECTURE DES ARTICLES - CLASS 94

LECTURE DES ARTICLES - CLASS 94

Les nombres étranges qui ont donné naissance à l'algèbre moderne La découverte au XIXe siècle de nombres appelés "quaternions" a donné aux mathématiciens un moyen de décrire les rotations dans l'espace, changeant à jamais la physique et les mathématiques. Quanta Magazine : Charlie Wood 01 Imaginez que vous remontiez l'aiguille des heures d'une horloge de 3 heures à midi. Les mathématiciens savent depuis longtemps comment décrire cette rotation par une simple multiplication : Un nombre représentant la position initiale de l'aiguille des heures sur le plan est multiplié par un autre nombre constant. Mais une astuce similaire est-elle possible pour décrire les rotations dans l'espace ? Le bon sens dit que oui, mais William Hamilton, l'un des mathématiciens les plus prolifiques du XIXe siècle, a lutté pendant plus d'une décennie pour trouver la formule mathématique permettant de décrire les rotations en trois dimensions. La solution improbable qu'il a trouvée l'a conduit à créer le troisième des quatre systèmes de numération qui respectent un analogue proche de l'arithmétique standard et a contribué à l'essor de l'algèbre moderne. 02 Les nombres réels constituent le premier système de numération. Séquence de nombres pouvant être ordonnés du plus petit au plus grand, les nombres réels comprennent tous les caractères familiers que nous apprenons à l'école, comme -3,7, sqrt(5) et 42. Les algébristes de la Renaissance sont tombés sur le deuxième système de nombres pouvant être ajoutés, soustraits, multipliés et divisés lorsqu'ils ont réalisé que la résolution de certaines équations nécessitait un nouveau nombre, i, qui n'avait sa place nulle part sur la ligne des nombres réels. Ils ont fait les premiers pas hors de cette ligne et sont entrés dans le "plan complexe", où les nombres "imaginaires" mal nommés s'associent aux nombres réels comme les lettres majuscules s'associent aux chiffres dans le jeu de la bataille navale. Dans ce monde planaire, les "nombres complexes" représentent des flèches que l'on peut faire glisser avec l'addition et la soustraction ou tourner et étirer avec la multiplication et la division. 03 Hamilton, le mathématicien irlandais qui a donné son nom à l'opérateur "hamiltonien" en mécanique classique et quantique, espérait sortir du plan complexe en ajoutant un axe j imaginaire. Ce serait comme si Milton Bradley transformait "Battleship" en "Battlesubmarine" avec une colonne de lettres minuscules. Mais il y avait quelque chose de bizarre dans les trois dimensions qui cassait tous les systèmes auxquels Hamilton pouvait penser. "Il a dû essayer des millions de choses et aucune n'a fonctionné", explique John Baez (http://math.ucr.edu/home/baez/), mathématicien à l'université de Californie, à Riverside. Le problème était la multiplication. Dans le plan complexe, la multiplication produit des rotations. Hamilton a eu beau essayer de définir la multiplication en 3D, il n'a pas pu trouver une division opposée qui produise toujours des réponses significatives. 04 Pour comprendre ce qui rend la rotation en 3D si difficile, il suffit de comparer la rotation d'un volant à celle d'un globe terrestre. Tous les points du volant se déplacent ensemble de la même manière, ils sont donc multipliés par le même nombre (complexe). En revanche, les points du globe se déplacent plus rapidement autour de l'équateur et plus lentement lorsque vous vous déplacez vers le nord ou le sud. Il est important de noter que les pôles ne changent pas du tout. Si les rotations tridimensionnelles fonctionnaient comme les rotations bidimensionnelles, a expliqué M. Baez, tous les points se déplaceraient. La solution, que Hamilton, tout étourdi, a gravée sur le pont Broome de Dublin lorsqu'il a finalement été frappé le 16 octobre 1843, consistait à placer le globe dans un espace plus grand où les rotations se comportaient davantage comme en deux dimensions. 05 Avec non pas deux mais trois axes imaginaires, i, j et k, plus la ligne des nombres réels a, Hamilton a pu définir de nouveaux nombres qui sont comme des flèches dans l'espace quadridimensionnel. Il les nomme "quaternions". À la tombée de la nuit ( https://www.jstor.org/stable/2689481), Hamilton avait déjà esquissé un schéma pour faire tourner des flèches à trois dimensions : Il montra que celles-ci pouvaient être considérées comme des quaternions simplifiés créés en fixant a, la partie réelle, à zéro et en ne conservant que les composantes imaginaires i, j et k - un trio pour lequel Hamilton inventa le mot "vecteur". Pour faire tourner un vecteur à trois dimensions, il fallait le multiplier par une paire de quaternions à quatre dimensions contenant des informations sur le sens et le degré de rotation. Pour voir la multiplication des quaternions en action, regardez la nouvelle vidéo ci-dessous, réalisée par le célèbre animateur mathématique 3Blue1Brown (http://www.3blue1brown.com/). voir la vidéo : https://youtu.be/d4EgbgTm0Bg 06 Tout ce que vous pouvez faire avec les nombres réels et complexes, vous pouvez le faire avec les quaternions, à une différence près. Alors que 2 × 3 et 3 × 2 sont tous deux égaux à 6, l'ordre compte pour la multiplication des quaternions. Les mathématiciens n'avaient jamais rencontré ce comportement dans les nombres auparavant, même s'il reflète la façon dont les objets de tous les jours tournent. Placez votre téléphone face à vous sur une surface plane, par exemple. Faites-le tourner de 90 degrés vers la gauche, puis retournez-le loin de vous. Notez dans quel sens pointe l'appareil photo. Pour revenir à la position initiale, retournez d'abord l'appareil à l'opposé de vous, puis tournez-le vers la gauche. Vous voyez que la caméra pointe plutôt vers la droite ? Cette propriété initialement inquiétante, connue sous le nom de non-commutativité, s'avère être une caractéristique que les quaternions partagent avec la réalité.

07 Mais le nouveau système de numérotation comporte également un bogue. Alors qu'un téléphone ou une flèche tourne sur 360 degrés, le quaternion décrivant cette rotation de 360 degrés ne tourne que de 180 degrés vers le haut dans l'espace quadridimensionnel. Il faut deux rotations com 07 Mais le nouveau système de numérotation comporte également un bogue. Alors qu'un téléphone ou une flèche tourne sur 360 degrés, le quaternion décrivant cette rotation de 360 degrés ne tourne que de 180 degrés vers le haut dans l'espace quadridimensionnel. Il faut deux rotations complètes du téléphone ou de la flèche pour ramener le quaternion associé à son état initial. (En s'arrêtant après un tour, le quaternion reste inversé, en raison de la quadrature des nombres imaginaires par rapport à -1).Pour comprendre comment cela fonctionne, regardez le cube en rotation ci-dessus.Un tour donne une torsion aux courroies attachées, tandis que le second les lisse à nouveau.Les quaternions se comportent de manière assez similaire. 08 Les flèches à l'envers produisent des signes négatifs erronés qui peuvent faire des ravages en physique. C'est pourquoi, près de 40 ans après le vandalisme de Hamilton sur le pont, les physiciens sont entrés en guerre (https://arxiv.org/abs/1509.00501) les uns contre les autres pour empêcher le système des quaternions de devenir la norme. Les hostilités ont éclaté lorsqu'un professeur de Yale, Josiah Gibbs, a défini le vecteur moderne. Décidant que la quatrième dimension posait trop de problèmes, Gibbs a décapité la création de Hamilton en supprimant complètement le terme a (http://worrydream.com/refs/Crowe-HistoryOfVectorAnalysis.pdf) :Le quaternion de Gibbs a conservé la notation i, j, k, mais a divisé la règle peu pratique de multiplication des quaternions en deux opérations distinctes de multiplication des vecteurs, que tous les étudiants en mathématiques et en physique apprennent aujourd'hui : le produit en points et le produit en croix. Les disciples d'Hamilton qualifièrent le nouveau système de "monstre", tandis que les amateurs de vecteurs dénigraient les quaternions en les qualifiant de "vexatoires" (https://www.jstor.org/stable/3620406?seq=1#page_scan_tab_contents) et de "mal sans mélange".(https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF03256558) Le débat a fait rage pendant des années dans les pages des journaux et des brochures, mais la facilité d'utilisation a finalement mené les vecteurs à la victoire. 09 Les quaternions allaient languir dans l'ombre des vecteurs jusqu'à ce que la mécanique quantique révèle leur véritable identité dans les années 1920. Alors que les 360 degrés normaux suffisent pour faire tourner complètement les photons et autres particules de force, les électrons et toutes les autres particules de matière ont besoin de deux tours pour revenir à leur état initial.Le système de nombres de Hamilton décrivait depuis longtemps ces entités non encore découvertes, désormais connues sous le nom de "spinors". Pourtant, les physiciens n'ont jamais adopté les quaternions dans leurs calculs quotidiens, parce qu'ils avaient trouvé un autre système pour traiter les spinors, basé sur des matrices.Ce n'est qu'au cours des dernières décennies que les quaternions ont connu un regain d'intérêt.Outre leur adoption dans l'infographie, où ils servent d'outils efficaces pour calculer les rotations, les quaternions continuent à être utilisés dans la géométrie des surfaces de dimensions supérieures. 10 Une surface en particulier, appelée manifold d'Hyperkähler, présente la caractéristique intrigante de permettre la translation entre les groupes de vecteurs et les groupes de spinors, unissant ainsi les deux côtés de la guerre des algèbres vectorielles. Étant donné que les vecteurs décrivent les particules de force tandis que les spinors décrivent les particules de matière, cette propriété présente un intérêt extrême (https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.cmp/1104116624) pour les physiciens qui se demandent si une symétrie entre la matière et les forces, appelée supersymétrie, existe dans la nature. (Toutefois, si c'est le cas, la symétrie devrait être gravement brisée dans notre univers.)(https://www.quantamagazine.org/what-no-new-particles-means-for-physics-20160809/) Une construction pas si inutile s'est avérée être le quatrième et dernier système de nombres permettant une multiplication analogue et une division associée, découvert peu après les quaternions par l'ami de Hamilton, John Graves.Certains physiciens pensent que ces "octonions" particuliers, à huit dimensions, pourraient jouer un rôle important dans la physique fondamentale (https://www.quantamagazine.org/the-octonion-math-that-could-underpin-physics-20180720/). "Je pense qu'il reste encore beaucoup à découvrir sur la géométrie basée sur les quaternions", a déclaré Nigel Hitchin (https://people.maths.ox.ac.uk/hitchin/ ), géomètre à l'Université d'Oxford, "mais si vous voulez une nouvelle frontière, c'est celle des octonions". https://getpocket.com/explore/item/the-strange-numbers-that-birthed-modern-algebra?utm_source=pocket-newtab-en-us